Родился в селе Александровка Харьковской губернии.
По настоянию отца поступил в Харьковский мелиоративный институт; в 1923 году перевёлся на второй курс химического факультета Харьковского технологического института, где проучился два года (с 1923 по 1925). После смерти отца в 1925 г. резко сменил специальность и перевёлся на инженерно-строительный факультет того же института.
В 1930 г. завершил учёбу (инженерно-архитектурный отдел факультета), защитив диплом «Комбинат печатников». Диплома о высшем образовании не получил (из-за задолженности по укр. языку; был выдан, когда Душкин уже был известным архитектором).
На протяжении жизни работал во всех областях архитектуры, специалист в области транспортного строительства.
Является автором ряда станций московского метрополитена - Кропоткинская, Площадь Революции, Маяковская, Автозоводская, Новослободская.
Один из авторов проекта высотки у Красных ворот в Москве, Детского мира на Лубянской площади. Архитектор железнодорожных вокзалов в Днепропетровске, Симферополе, Сочи, Брянске.

В Краснодаре по проекту А.Н. Душкина построено здание железнодорожного вокзала Краснодара в 1956 году. Здание было возведено на фундаментах железнодорожной станции дореволюционной постройки. В центральной части находится двухэтажное, а в боковых крыльях - трехэтажное здание вокзала, которое является главной архитектурной доминантой Привокзальной площади. Архитектура вокзала решена в стиле неоклассицизма.