Родился 22 сентября 1875 г. в Курганинске, в семье потомственного кубанского казака.
Александр Косякин закончил Ставропольскую гимназию и, несмотря на блестящие перспективы военного офицера, решил стать архитектором. В 1895 г. он поступил в Институт гражданских инженеров императора Николая I (1895—1901 гг.). После института Косякин два года служил инженером в Подольском губернском правлении, а затем в 1904 г. вернулся в Екатеринодар и связал свою дальнейшую судьбу и творческую деятельность с Кубанью: служил в должности Кубанского областного архитектора с 1906 по 1918 гг.
Скончался в июне 1919 года.

В начале своей карьеры кубанского архитектора Александр Косякин строит здание, признанное лучшим проектом на международной выставке в Париже и восхищавшее современников: Кубанский Мариинский женский институт или институт благородных девиц (1906—1909 гг.). Здание построено в стиле модерн с элементами неоклассицизма.
Дом жилой архитектора А. П. Косякина (1906—1910 гг.) является уникальным образцом архитектуры в стиле раннего модерна. Концептуальный подход в создании этого дома объединил окружающее пространство с пространством здания и стал отражением гармоничного сочетания природного ландшафта и архитектуры.
За время службы Косякин построил девять храмов на территории Кубани, большинство из них сохранились до настоящего времени.